zougla: Λύνοντας τα άλυτα

Μικροϊστορίες των επιστημών και της φιλοσοφίας

—του Γιώργου Θεοχάρη—

Όσοι έχετε δει την ταινία Good Will Hunting (1997, σκηνοθεσία: Γκας Βαν Σαντ) σίγουρα θα θυμόσαστε στην αρχή μια σεκάνς όπου ο χαρισματικός, αυτοδίδακτος και τζόρας Γουίλ Χάντινγκ (Μάτ Ντέιμον), καθώς σφουγγαρίζει έναν διάδρομο στο ΜΙΤ, βλέπει αναρτημένο ένα μαθηματικό πρόβλημα με πίνακα γειτνίασης (adjacency matrix), παρατάει προς στιγμή τη σφουγγαρίστρα και το λύνει –ανώνυμα– για την πλάκα του. Το πρόβλημα αυτό ήταν από τα πολύ δύσκολα και το είχε βάλει ως πρόκληση στους φοιτητές του ο καθηγητής Τζέραλντ Λαμπώ (Στέλαν Σκάρσκαρντ). Φυσικά, οι πάντες εντυπωσιάζονται όταν μαθαίνουν ότι η διάνοια που έλυσε το άλυτο είναι ο επιστάτης της σχολής. Συμβαίνουν αυτά· στο Χόλιγουντ.ⁱ

Εντυπωσιακό ξεκίνημα μιας καλής ταινίας. Ακόμα πιο εντυπωσιακό, όμως, είναι το γεγονός ότι οι σεναριογράφοι Ματ Ντέιμον και Μπεν Άφλεκ (που πήραν και το Όσκαρ πρωτότυπου σεναρίου ακριβώς γι’ αυτή την ταινία) χρησιμοποίησαν ως βάση για τη συγκεκριμένη σεκάνς έναν ευρέως διαδομένο –στις ΗΠΑ– αστικό μύθο, σύμφωνα με τον οποίο ένας φοιτητής λύνει ένα άλυτο («ανοιχτό») πρόβλημα μαθηματικών ακριβώς επειδή δεν ξέρει ότι θεωρείται άλυτο. Οι εκδοχές που κυκλοφορούν είναι πολλές, αλλά το επιμύθιο πάντα το ίδιο: σκέψου θετικά. Προφανώς ο εν λόγω φοιτητής (σε όλες τις εκδοχές) είναι ιδιοφυής και δουλευταράς, αλλά πάνω απ’ όλα σκέφτεται θετικά! Σαν αμερικανιά ακούγεται – και είναι. Εντούτοις, πρόκειται για αστικό μύθο που περιέργως βασίζεται σε αληθινή ιστορία!ⁱⁱ

Ο Τζορτζ Μπέρναρντ Ντάντζιγκ (George Bernard Dantzig, 1914-2005) ήταν Αμερικανός μαθηματικός με σημαντική συνεισφορά στη στατιστική, την πληροφορική, τα οικονομικά και τη λήψη αποφάσεων. Ο πατέρας του, ο Τομπάιας Ντάντζιγκ, ήταν γερμανόφωνος Λετονός και η μητέρα του, η Άνια, ήταν Πολωνή. Οι δυο τους γνωρίστηκαν στο Πανεπιστήμιο της Σορβόννης, στο Παρίσι, όπου σπούδαζαν, εκείνος μαθηματικά (με καθηγητή τον Ανρί Πουανκαρέ) κι εκείνη γλωσσολογία. Ερωτεύτηκαν, παντρεύτηκαν και το 1910 αποφάσισαν να μεταναστεύσουν στις ΗΠΑ, αποφεύγοντας έτσι αρκετές μαύρες σελίδες της ευρωπαϊκής ιστορίας. Ο γιος τους γεννήθηκε λίγα χρόνια αργότερα στο Πόρτλαντ του Όρεγκον και βαφτίστηκε Τζορτζ Μπέρναρντ προς τιμή του θεατρικού συγγραφέα Τζορτζ Μπέρναρντ Σω, τον οποίο φαίνεται πως είχε περί πολλού ο Τομπάις. Ο Τζορτζ, έχοντας τα γονίδια και την υποστήριξη των γονιών του, έδειξε από νωρίς τη μαθηματική του κλίση (ιδιαίτερα στη γεωμετρία). Ακολούθησαν καλές σπουδές στα μαθηματικά: πτυχίο από το Πανεπιστήμιο του Μέριλαντ το 1936, μεταπτυχιακό από το Πανεπιστήμιο του Μίσιγκαν το 1938 και διδακτορικό (που διακόπηκε λόγω του Β΄ ΠΠ για να υπηρετήσει στην Αεροπορία) από το Πανεπιστήμιο της Καλιφόρνιας στο Μπέρκλεϊ το 1946. Μολονότι του προσφέρθηκε θέση στο διδακτικό προσωπικό τού Μπέρκλεϊ, εκείνος αρχικά προτίμησε να δουλέψει ως μαθηματικός σύμβουλος στην Πολεμική Αεροπορία. Το 1952 βρέθηκε να δουλεύει στην Research and Development (RAND) Corporation ως μαθηματικός ερευνητής. Το 1960 ξεκίνησε η ακαδημαϊκή του καριέρα, πρώτα στο Μπέρκλεϊ ως καθηγητής και ερευνητής στον τομέα της λήψης αποφάσεων, και από 1966 έως το 1985, οπότε και συνταξιοδοτήθηκε υποχρεωτικά, ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο Στάνφορντ. Έγραψε δεκάδες βιβλία και άρθρα, δίδαξε χιλιάδες φοιτητές, βραβεύτηκε, τιμήθηκε – μία καθ’ όλα αξιόλογη πορεία στον κόσμο των μαθηματικών. Όντας διαβητικός και καρδιοπαθής, πέθανε στο σπίτι του στο Στάνφορντ στις 13/5/20005, σε ηλικία 91 ετών. Καθόλου άσχημα. Και αν στην ιστορία των επιστημών μείνει ως εκείνος που ανέπτυξε τον αλγόριθμο simplex του γραμμικού προγραμματισμού (αυτή θεωρείται η σημαντικότερη συνεισφορά του, ενώ συχνά αναφέρεται ως «ο πατέρας του γραμμικού προγραμματισμού»), στη συλλογική μνήμη –με τη βοήθεια της μαζικής κουλτούρας– θα μείνει ως πρωταγωνιστής ενός συμβάντος που εξελίχθηκε σε αστικό μύθο.

Η (πραγματική) ιστορία έχει ως εξής: Μια μέρα του 1939, ο Τζορτζ Ντάντζιγκ, υποψήφιος διδάκτωρ στο Μπέρκλει, έφτασε καθυστερημένος για μια διάλεξη στο πλαίσιο ενός προπτυχιακού μαθήματος στατιστικής που έδινε ο επιβλέπων του, ο Πολωνός στατιστικολόγος Γιέρζε Νέιμαν. Όταν βολεύτηκε κάπου, είδε γραμμένα στον πίνακα δύο προβλήματα. Δεν μπήκε στον κόπο να ρωτήσει τριγύρω τι ακριβώς παιζόταν και, πιστεύοντας όταν ήταν ασκήσεις για το σπίτι, τις αντέγραψε από τον πίνακα. Όταν αργότερα έκατσε να λύσει τις «ασκήσεις», διαπίστωσε ότι ήταν δυσκολότερες απ’ ό,τι συνήθως. Παρ’ όλα αυτά, τις έλυσε. Σύντομα αποδείχθηκε ότι δεν ήταν ασκήσεις για προπτυχιακούς φοιτητές, αλλά παραδείγματα άλυτων στατιστικών προβλημάτων. Μια διευκρίνιση επί των όρων: τα περί ων ο λόγος «προβλήματα» που «έλυσε» ο Ντάντζιγκ ήταν στην πραγματικότητα δύο αναπόδεικτα θεωρήματα στατιστικής, τα οποία ο ανυποψίαστος φοιτητής δεν «έλυσε» –όπως αρχικά νόμιζε–, αλλά απέδειξε. Έξι βδομάδες αργότερα, ο καθηγητής του τού γνωστοποίησε ότι είχε προετοιμάσει μία από τις αποδείξεις για δημοσίευση. Η δεύτερη απόδειξη, η οποία δημοσιεύτηκε μια δεκαετία αργότερα, χρεώθηκε από κοινού στον Ντάντζιγκ και στον μαθηματικό Έιμπραχαμ Γουάλντ γιατί, αν και δούλεψαν ανεξάρτητα και με χρονική διαφορά, κατέληξαν στην ίδια (σωστή) απόδειξη για το ίδιο θεώρημα.

Ας δούμε πώς αφηγήθηκε ο ίδιος ο Ντάντζιγκ την ιστορία σε συνέντευξη που δημοσιεύτηκε στο College Mathematics Journal το 1986:

Όλα έγιναν επειδή στο πρώτο μου έτος στο Μπέρκλεϊ μια μέρα πήγα καθυστερημένος σε κάποιο από τα μαθήματα του Νέιμαν. Στο πίνακα υπήρχαν δύο προβλήματα τα οποία υπέθεσα ότι ήταν η εργασία μας για το σπίτι. Τα αντέγραψα στο τετράδιό μου. Λίγες μέρες αργότερα ζήτησα συγγνώμη από τον Νέιμαν επειδή δεν είχα ακόμα παραδώσει την εργασία – οι ασκήσεις φαίνονταν λιγάκι δυσκολότερες απ’ ό,τι συνήθως. Τον ρώτησα αν εξακολουθούσε να τις θέλει. Μου είπε να τις αφήσω στο γραφείο του. Έκανα όπως μου είπε, αν και με κάποιο δισταγμό γιατί το γραφείο του ήταν καλυμμένο από ένα βουνό χαρτιών και φοβόμουν ότι η εργασία μου να χανόταν εκεί για πάντα. Περίπου έξι βδομάδες αργότερα, μια Κυριακή πρωί, η Αν –η γυναίκα μου– κι εγώ ξυπνήσαμε από χτυπήματα στην εξώπορτα. Ήταν ο Νέιμαν. Μπήκε μέσα με φούρια, κρατώντας κάτι χαρτιά στο χέρι και απερίγραπτα ενθουσιασμένος. Μου είπε: «Έχω γράψει μια εισαγωγή για μία από τις αποδείξεις σου. Διάβασέ την γιατί θέλω να τη στείλω αμέσως για δημοσίευση». Δεν είχα ιδέα για τι πράγμα μιλούσε. Για να μην μακρηγορώ, τα προβλήματα στον πίνακα, τα οποία είχα λύσει πιστεύοντας ότι ήταν η εργασία μας για το σπίτι, ήταν στην πραγματικότητα δύο διάσημα ανοιχτά προβλήματα στατιστικής. Μέχρι να μου το πει ο Νέιμαν, δεν ήξερα ότι είχα αποδείξει θεωρήματα που αντιστέκονταν για χρόνια σε πολλούς και ικανότατους συναδέλφους.

Ένα χρόνο αργότερα, όταν είχα αρχίσει να ανησυχώ για το θέμα της διπλωματικής μου, ο Νέιμαν απλώς σήκωσε τους ώμους του και μου είπε ότι αν δέσω σε έναν τόμο τις αποδείξεις των δύο θεωρημάτων και τις υποβάλλω δεόντως, θα τις δεχόταν για διπλωματική. Έτσι κι έγινε.

Παρ’ όλα αυτά, η απόδειξη του δεύτερου θεωρήματος δεν δημοσιεύτηκε παρά μετά τον Β΄ ΠΠ. Και να πώς έγινε. Νομίζω ήταν το 1950 όταν έλαβα ένα γράμμα από τον Έιμπραχαμ Γουάλντ, ο οποίος είχε εσωκλείσει τα τελικά τυπογραφικά δοκίμια ενός δικού του άρθρου που πήγαινε για άμεση δημοσίευση στο Annals of Mathematical Statistics. Κάποιος του είχε μόλις επισημάνει ότι το βασικό αποτέλεσμα του άρθρου του ήταν το ίδιο με το δεύτερο πρόβλημα της «εργασίας στο σπίτι» που είχα συμπεριλάβει και στη διπλωματική μου. Του απάντησα προτείνοντας να βάλουμε και τα δύο ονόματα στο άρθρο. Εκείνος χωρίς δεύτερη κουβέντα πρόσθεσε το όνομά μου στα τυπογραφικά δοκίμια, σαν να το είχαμε γράψει παρέα.

Απίστευτη και όμως αληθινή η ιστορία, ομολογουμένως. Αλλά μια καλή ιστορία δεν γίνεται από μόνης της αστικός μύθος. Χωρίς αμφιβολία, τα συστατικά ήταν πρώτης ποιότητας: καταρχάς, μία από τις απόλυτες ακαδημαϊκές φαντασιώσεις: ο φοιτητής που όχι μόνο αποδεικνύεται εξυπνότερος όλων των συμφοιτητών του, αλλά καλύτερος ακόμα κι από τον καθηγητή του, αλλά και από κάθε άλλον ακαδημαϊκό στον τομέα του. Αν προσθέσουμε (ή προσαρμόσουμε) σε αυτή τη φαντασίωση το κόλλημα που έχουν οι Αμερικανοί με τη «θετική σκέψη» (βασικό μοτίβο πολλών αστικών μύθων και με έρεισμα στη μαζική κουλτούρα, ιδίως σε εκπαιδευτικά συμφραζόμενα), έχουμε έναν συνδυασμό που εγγυάται σίγουρη επιτυχία. Ποιος δεν αναβαίνει ψυχολογικά ακούγοντας μια πραγματική ιστορία όπου ένας άνθρωπος αφέθηκε ελεύθερος να πετύχει τον στόχο του, ανεμπόδιστος από τους περιορισμούς που αναμφίβολα να τον φρέναραν αν λειτουργούσαν κατά τα ειωθότα; Όλοι είμαστε ικανοί όχι μόνο το καλύτερο, αλλά και για το κάλλιστο, αρκεί να είμαστε εκ γενετής χαρισματικοί και ταυτόχρονα δουλευταράδες! Απλά, καθημερινά πράγματα.

Αλλά, και πάλι, πώς έγινε και αυτή η ιστορία πέρασε στη σφαίρα των αστικών μύθων; Πώς διαδόθηκε; Για να δούμε την αληθοφανέστατη εξήγηση που έδωσε ο ίδιος ο Ντάντζιγκ σ’ εκείνη τη συνέντευξη του 1986:

Μια μέρα, καθώς έκανα τον πρωινό μου περίπατο, διασταυρώθηκα με τον Ντον Κνουθ που ερχόταν με το ποδήλατό του. Με τον Ντον ήμασταν συνάδελφοι στο Στάνφορντ. Σταμάτησε να με χαιρετήσει και μετά μου είπε: «Ξέρεις, Τζορτζ, ήμουνα στην Ιντιάνα πρόσφατα και άκουσα ένα κήρυγμα για σένα στην εκκλησία. Το ήξερες εσύ ότι αποτελείς πρότυπο για τους χριστιανούς των μεσοδυτικών πολιτειών;» Τον κοίταξα έκπληκτος. «Μετά το κήρυγμα», συνέχισε ο Ντον, «ο ιερέας ήρθε και με ρώτησε αν γνώριζα κάποιον Τζορτζ Ντάντζιγκ στο Στάνφορντ, γιατί αυτό ήταν το όνομα του ανθρώπου που ήταν το θέμα του κηρύγματος».

Το πρωτότυπο του κηρύγματος αυτού του ιερέα, όμως, πρέπει να το αναζητήσουμε στο έργο ενός άλλου λουθηριανού ιερέα, του Αιδεσιμότατου Σούλερ της Κρίσταλ Καθίντραλ στο Λος Άντζελες. Συναντηθήκαμε κάποτε πριν από χρόνια και μου ανέπτυξε τις ιδέες του για τη θετική σκέψη. Εγώ, με τη σειρά μου, του είπα την ιστορία με τα προβλήματα που έλυσα επειδή δεν ήξερα ότι ήταν «άλυτα» και για τη διπλωματική μου. Λίγους μήνες αργότερα έλαβα ένα γράμμα από τον Αιδεσιμότατο, όπου μου ζητούσε την άδεια να περιλάβει την ιστορία μου σε ένα βιβλίο που έγραφε για τη δύναμη της θετικής σκέψης. Η δημοσιευμένη εκδοχή του Σούλερ είναι κάπως δυσνόητη και υπερβολική, αλλά στα βασικά της σημεία είναι σωστή. Το ηθικό δίδαγμα του κηρύγματός του ήταν αυτό: Αν γνώριζα ότι τα προβλήματα δεν ήταν ασκήσεις για το σπίτι, αλλά στην πραγματικότητα δύο διάσημα άλυτα προβλήματα στατιστικής, πιθανότατα δεν θα είχα σκεφτεί θετικά, θα είχα αποθαρρυνθεί και δεν τα έλυνα ποτέ, ίσως ούτε καν να προσπαθούσα να τα λύσω.

Η εκδοχή της ιστορίας του Ντάντζιγκ που δημοσίευε ο χριστιανός τηλε-ευαγγελιστής Ρόμπερτ Χ. Σούλερ περιείχε κάμποσες φιοριτούρες και λάθος πληροφορίες, οι οποίες έχουν έκτοτε πολλαπλασιαστεί στις ποικίλες εκδοχές που κυκλοφορούν με σημείο εκκίνησης μια πραγματική ιστορία. Αλλά αυτό λίγη σημασία έχει. Ο μύθος, όπως και αν διατυπωθεί, είναι σίγουρα πηγή έμπνευσης, εντός και εκτός Αμερικής: το παραμύθιασμα είναι σκληρό ναρκωτικό. Δεν θα ισχυριστώ ότι η σκληρή δουλειά δεν είναι θεμελιώδες συστατικό για την επιτυχία σε οτιδήποτε (σε αντίθεση με την τύχη). Από την άλλη, δεν ξέρω τι θα συνέβαινε αν κάποιος άλλος, λιγότερο ή καθόλου χαρισματικός, αντέγραφε τα αναπόδεικτα θεωρήματα και, έχοντας πλήρη άγνοια για τον βαθμό δυσκολίας τους, επιχειρούσε να τα αποδείξει. Δεν ξέρω, αλλά μπορώ να φανταστώ: θα πήγαινε στην άλλη μέρα στο σχολείο αδιάβαστος!

Θα το πω αλλιώς για να μείνω στο πνεύμα της θετικής σκέψης από την ανάποδη: η σκληρή δουλειά μπορεί να κάνει μέτριο τον κακό και καλό τον μέτριο· αλλά για να γίνει άριστος ο καλός απαιτείται κάτι παραπάνω. Αυτό ίσως να μην ακούγεται δίκαιο για όλους εκείνους τους σκληρά εργαζόμενους που δεν έχουν αυτό το κάτι παραπάνω, τους καταδικασμένους στην αιώνια μετριότητα. Αλλά, πάλι, αν είχαμε όλοι τις πολλές και αστάθμητες προδιαγραφές προς αριστεία, κανείς μας δεν θα είχε το κάτι παραπάνω· θα είχαμε όλοι κάτι, σε μια ουτοπική κοινωνία όπου οι πάντες θα ήταν ιδιοφυίες. Σαν βαρετό σενάριο επιστημονικής φαντασίας ακούγεται. Ίσως σε μερικές χιλιετίες να φτάσουμε εκεί, ποιος ξέρει; Επί του παρόντος, περνάμε τη φάση της δίκαιης αδικίας. Αλλά δεν είναι κι άσχημα: τουλάχιστον έτσι έχουμε κάτι να περιμένουμε.

Ο Ντάντζιγκ, μεταπτυχιακός φοιτητής στο Μίσιγκαν, 1938.

i Οι σεναριογράφοι του Cood Will Hunting (ελλ. τίτλος: Ο Ξεχωριστός Γουίλ Χάντινγκ) έχουν παραδεχτεί ότι η σχέση του καθηγητή Λαμπώ με τον Γουίλ Χάντιγκ είναι εμπνευσμένη από την πραγματική σχέση τού Άγγλου μαθηματικού και καθηγητή Γκ.Χ. Χάρντι με τον ιδιοφυή Ινδό μαθηματικό Σρινιβάσα Ραμανούτζαν . (Η στήλη έχει ασχοληθεί στο παρελθόν με την ιστορία αυτών των δύο, την οποία μπορείτε να διαβάσετε εδώ.)

ii Αντίθετα, οι προαναφερθέντες σεναριογράφοι δεν έχουν παραδεχτεί –τουλάχιστον, απ’ όσο ξέρω– ότι η ιστορία της σεκάνς με το πρόβλημα στον διάδρομο είναι βασισμένη στον αστικό μύθο της θετικής σκέψης, ο οποίος με τη σειρά του βασίζεται στην ιστορία με τις αποδείξεις του Τζορτζ Ντάντζιγκ. Ίσως και να μην χρειάζεται: οι ομοιότητες μιλάνε από μόνες τους. Άλλωστε, και ο τίτλος –ένα λογοπαίγνιο με το όνομα του «καλού Γουίλ Χάντινγκ» και το «κυνήγι της καλής θέλησης»– ακριβώς σε αυτή την ιστορία παραπέμπει.

Πηγές:

Maryland Movie Connections–Good Will Hunting & Dr. George Dantzig

The Life and Times of the Father of Linear Programming

The Unsolvable Math Problem

* * *